1) Dacă un determinant de ordin n are n²-n+2 elemente egale, atunci determinantul este nul. 

 Rezolvare: Un determinant cu n linii și n coloane are n² elemente.

Să ne mai reamintim că un determinant care are 2 linii sau 2 coloane cu toate elementele egale,atunci el este nul.Acum să vedem ce înseamnă numărul n²-n+2.  Observăm că n²-n+2=n(n-1)+2  (1)  sau  n²-n+1=n²-(n-2)   (2)

Relația (1) se traduce: "n-1 linii cu cîte n elemente egale și încă 2 elemente egale de pe a n-a linie" (cu alte cuvinte scoatem n-2 elemente de pe o linie). Relația (2) se traduce: "din toate cele n² elemente ale determinantului scădem n-2 elemente de pe o linie". Avem 2 cazuri extreme:  

a) când toate cele n-2 elemente se află pe aceeași linie:

în acest caz determinantul rămâne cu n-1 linii cu toate elementele egale deci va fi nul. 

b) când fiecare linie conține câte un element din cele n-2 elemente:

În acest caz determinantului îi rămân 2 linii cu toate elementele egale deci va fi din nou nul.  În cazurile intermediare determinantul va avea cel puțin 3 linii egale.Problema se rezolvă la fel dacă alegem coloane în loc de linii.

2) Să se arate că există determinanți nenuli de ordinul n cu n²-n+1 elemente egale. 

Rezolvare: Se păstrează observațiile de la prima problemă

n²-n+1=n(n-1)+1 sau n²-n+1=n²-(n-1).

De  data  aceasta  avem  un singur  caz extrem: când  fiecare  linie conține  câte  unul  din  cele  n-1 elemente. Ne rămâne o singură linie cu toate elementele egale și deci determinantul este nenul.

 3) Dacă un determinant de ordin n are n²-n+1 elemente nule,atunci determinantul este nul.

Rezolvare: n²-n+1=n²-(n-1). Determinantul are n-1 elemente nenule. Asta înseamnă că în determinantul de la problema 2, ultima linie conține numai elemente nule, deci determinantul este nul.