1) Dacă un determinant de ordin n are n2-n+2 elemente egale, atunci determinantul este nul.
Rezolvare: Un determinant cu n linii și n coloane are n2 elemente.
Să ne mai reamintim că un determinant care are 2 linii sau 2 coloane cu toate elementele egale,atunci el este nul.Acum să vedem ce înseamnă numărul n2-n+2. Observăm că n2-n+2=n(n-1)+2 (1) sau n2-n+1=n2-(n-2) (2)
Relația (1) se traduce: "n-1 linii cu cîte n elemente egale și încă 2 elemente egale de pe a n-a linie" (cu alte cuvinte scoatem n-2 elemente de pe o linie). Relația (2) se traduce: "din toate cele n2 elemente ale determinantului scădem n-2 elemente de pe o linie". Avem 2 cazuri extreme:
a) când toate cele n-2 elemente se află pe aceeași linie:
în acest caz determinantul rămâne cu n-1 linii cu toate elementele egale deci va fi nul.
b) când fiecare linie conține câte un element din cele n-2 elemente:
În acest caz determinantului îi rămân 2 linii cu toate elementele egale deci va fi din nou nul. În cazurile intermediare determinantul va avea cel puțin 3 linii egale.Problema se rezolvă la fel dacă alegem coloane în loc de linii.
2) Să se arate că există determinanți nenuli de ordinul n cu n2-n+1 elemente egale.
Rezolvare: Se păstrează observațiile de la prima problemă
n2-n+1=n(n-1)+1 sau n2-n+1=n2-(n-1).
De data aceasta avem un singur caz extrem: când fiecare linie conține câte unul din cele n-1 elemente. Ne rămâne o singură linie cu toate elementele egale și deci determinantul este nenul.
3) Dacă un determinant de ordin n are n2-n+1 elemente nule,atunci determinantul este nul.
Rezolvare: n2-n+1=n2-(n-1). Determinantul are n-1 elemente nenule. Asta înseamnă că în determinantul de la problema 2, ultima linie conține numai elemente nule, deci determinantul este nul.