Algebră
Star InactiveStar InactiveStar InactiveStar InactiveStar Inactive
 

Ce sunt permutările? Deși nu am studiat etimologia cuvântului, e foarte probabil ca acesta să fie prescurtarea de la "mutare a unei perechi"=per-mutare. Cu alte cuvinte luăm o pereche de numere (poate fi o pereche de orice altceva) și facem schimb de locuri între ele.

Noțiunea de permutare face parte din capitolul "Elemente de combinatorică" studiat in clasa a X-a dar o vom întâlni studiată mai pe larg în clasa a XI-a.

Problema care se pune este următoarea: fiind dată o mulțime ordonată cu n elemente,  în câte moduri putem să rearanjăm elementele ei astfel încât să obținem de fiecare dată, aceeași mulțime de la început, cu același număr de elemente, dar aranjate în altă ordine.

Exemplu: Fie mulțimea A={1,2,3}, o mulțime ordonată. Dacă schimbăm locurile numerelor 1 și 2 între ele obținem mulțmea A1={2,1,3}, Această mulțime este o permutare a mulțimii A. La fel, dacă schimbăm între ele numerele 1 și 3, 2 și 3, obținem A2={3,2,1} și A3={1,3,2}. Cum facem însă astfel încât să nu ne pierdem în permutări și să le găsim pe toate?

Pentru mulțimea A={1,2,3} procedăm în felul următor: îl lăsăm pe 1 pe prima poziție și le permutăm pe celelalte elemente între ele:

A1={1,2,3}; (A1=A-mulțimea A este ea însăși o permutare)

A2={1,3,2}

Acum luăm cel de-al doilea element pe prima poziție și permutăm celelalte elementele între ele.:

A3={2,1,3}

A4={2,3,1}

Repetăm algoritmul și pentru numărul 3:

A5={3,2,1}

A6={3,1,2}

Cu 3 am ajuns la ultimul element al mulțimii A și astfel am epuizat toate posibilitățile. Observăm că avem 6 mulțimi. Să reținem acest rezultat.

Luăm acum mulțimea A={1} cu un singur element. Această muțime are o singură permutare și anume A={1}. Dacă mulțimea A are două elemente, A={1,2}, atunci avem permutările A1={1,2}=A, A2={2,1}. Adică exact 2 permutări.

Notăm cu Pn numărul de permutări al unei mulțimi cu n elemente și citim "permutări de n". Așadar P1=1 (pentru A={1}), P2=2 (pentru A={1,2}), P3=6 (pentru A={1,2,3}).

Ne putem gândi că numărul de permutări al unei mulțimi cu n elemente este 2n. Dar rapid vedem că această formulă nu se respectă pentru mulțimile cu 1 element sau 2 elemente. Luăm o mulțime cu 4 elemente și aplicând algoritmul de mai sus obținem 24 de permutări. Nici în acest caz nu se respectă formula Pn=2n. Să vedem dacă reușim să găsim o formulă pentru aceste 4 cazuri. Deci:

P1=1=1!; P2=2=1*2=2!; P3=6=1*2*3=3!; P4=24=1*2*3*4=4!

Tragem concluzia că Pn=n!. Dar putem fi siguri ca această formulă se respectă pentru orice n natural? Vom folosi metoda inducției matematice pentru a verifica această formulă.

Pasul 1:

Verificare: pentru n=1 avem P1=1, ceea ce este adevărat.

Pasul 2:

Demonstrație:

Presupunem Pk=k! adevărat. Demonstrăm pentru (k+1).

Fie A={1, 2, 3,..., k, k+1} o mulțime cu (k+1) elemente. Oricare element poate ocupa prima poziție din mulțime. Astfel, pentru elementul 1 pe prima poziție elementele rămase sunt în număr de k deci vom avea pentru ele k! permutări.  Pentru elementul 2 pe prima poziție vor fi tot k! permutări pentru cele k elemente rămase. În consecință, pentru fiecare element pus pe prima poziție vom avea k! permutări pentru restul de k elemente. Dar cum avem (k+1) elemente pe prima poziție, numărul total de permutări va fi (k+1)*k!=(k+1)!.

Deci Pk+1=(k+1)!

Astfel am demonstrat formula de mai sus: Pk=k!

În acest moment putem da definiția unei permutări.

Definiție:

Fie A o mulțime cu n elemente. Oricare dintre mulțimile ordonate care se formează cu cele n elemente ale mulțimii A, se numște permutare a mulțimii A.

Observații:

1) Un element dintr-o mulțime, care se află pe poziția k în acea mulțime se numește element de rang k;

2) Orice permutare a unei mulțimi ordonate  A cu n elemente, este tot o mulțime ordonată cu n elemente.

3) Nu putem avea o permutare pentru mulțimea vidă, deci n=1 sau n>1. 

4) Numărul n nu poate fi decât un număr natural.

5) Orice permutare este un număr natural nenul.

 

Share

Comments powered by CComment

Cauchy
Mulțumesc pentru că vizitați blogul meu! Reveniți pentru și mai multe noutăți interesante!
 
 

DESPRE SITE
Blog - MateCuprinde articole despre anumite capitole sau subiecte din matematică tratate punctual.
CategoriiToate materialele le găsiți sortate în funcție de categoria în care doriți să le căutați.
MediaMuzica, video și altele...
 
Euler
MATH LEGION
Salut! Am creat acest site pentru a împărtăși cu voi ideile în stilul meu personal.

Ultimele articole

Abonează-te

Guests Online

We have 105 guests and no members online

Login