Algebră
Star InactiveStar InactiveStar InactiveStar InactiveStar Inactive
 

Inducția matematică este o metodă de aflare a unui rezultat general pornind de la un caz particular.

În general, propozițiile se împart în două categorii: particulare și generale. Spre exemplu, "În orice triunghi dreptunghic suma celor două unghiuri ascuțite este de 90 de grade", este o propoziție generală. Dar propoziția " În triunghiul ABC dreptunghic, suma unghiurilor B și C este de 90 de grade", este o propoziție particulară. Care este deosebirea dintre cele 2 genuri de propoziții?

Pornind de la o propoziție generală, prin deducție se obține o propoziție particulară. În schimb, dintr-o propoziție particulară, prin inducție, ajungem la un rezultat general.

Exemplu:

1) Deducție-fie o propoziție cu caracter general( de ex. o teoremă):"Punctul de intersecție al mediatoarelor laturilor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului". Prin câțiva pași, se deduce faptul că acel punct este centrul cercului descris în teoremă.

2) Inducție: Fie suma S=1+2=3, S=1+2+3=6, S=1+2+3+4=10,..., S=1+2+....+(n-1)+n=n(n+1)/2. Pornind de la o sumă, prin inducție se ajunge la rezultatul din dreapta egalului de la ultima sumă. Cu alte cuvinte, se află un rezultat general pornind de la niște cazuri particulare.

Există 2 categorii de exerciții care folosesc inducția: exerciții în care se dau ambii termeni ai unei egalitați și se cere să se demonstreze acea egalitate cu ajutorul inducției sau se dă o sumă și se cere să se afle formula acelei sume ( formula după care se poate calcula mai ușor acea sumă) și apoi să se demonstreze prin inducție formula găsită. O să abordăm ambele situații. Ca o observație, deoarece acest capitol a fost mutat de la mijlocul clasei a X-a la începutul clasei a IX-a, cea de-a doua categorie de exerciții este aproape inexistentă în exercițiile de clasa a IX-a. Mai ales că ar trebui ca elevul să fi studiat temeinic capitolul "Numere reale" care introduce simboluri noi și câteva egalități și inegalități consacrate. Dar asta e o altă poveste.

Metoda inducției presupune parcurgerea a 2 pași pentru rezolvare: verificarea și demonstrația. Verificarea presupune calculul expresiilor din partea stângă și apoi in partea dreaptă a semnului egal pentru un număr finit k de valori  Dacă de fiecare dată cele 2 valori calculate sunt egale, înseamnă că verificarea e incheiată și se poate trece la pasul următor, adică demonstrația. Aici se presupune că egalitatea este adevărată pentru o valoare oarecare k, și se demonstrează egalitatea pentru valoarea k+1. În acest articol ne vom ocupa de demonstrarea unei egalități.

Fie suma:

Se observă că această sumă are n termeni numere naturale (suma primelor n numere naturale sau mai pe scurt, "Suma lui Gauss").

Pasul 1: Verificarea

Pentru primul calcul, în rândul de sus, n=1 înseamnă că suma este compusă dintr-un ingur termen (primul termen din stânga semnului de egalitate) și anume 1. De aceea suma noastră este egală cu 1. În rândul al doilea, suma este calculată prin înlocuirea lui n cu 1 în partea dreaptă a semnului =. Cele 2 valori calculate la dreapta și la stânga sunt egale deci verificarea pentru n=1 a fost încheiatâ. Vom face verificarea pentru încă 2 valori (putem și pentru mai multe dar nu are nici un sens să prelungim verificarea la nesfârșit).

Repet, valoarea pe care o ia numărul n, semnifică numărul de termeni în suma din partea stângă și nu al n-lea termen din sumă. Dacă n=3, asta înseamnă că adunăm primii 3 termeni ai sumei în partea stângă a semnului =, nu că luăm al 3-lea termen din sumă. Iar în partea dreaptă a egalității, n=3 inseamnă că pur și simplu înlocuim pe n cu 3 în formula sumei. Să vedem:

Să calculăm totuși suma și pentru 4 termeni:

În acest moment putem spune că am încheiat pasul 1, Verificarea. Dacă vom continua cu verificarea vom observa că egalitatea se respectă si pentru n=5,6,...100,...etc. Dar acest proces durează și de aceea e de dorit să trecem la pasul al doilea: demonstrația. 

Dar mai întâi să vedem  DE CE trebuie să demonstrăm un lucru care PARE evident la prima vedere și care a mai și fost verificat pentru câteva valori. Ideea e următoarea: exercițiul presupune calculul unei sume printr-o formulă (formula din dreapta) în loc de a aduna număr cu număr așa cum e scrisă suma în partea din stânga a egalității. Adică să calculăm o sumă mai ușor - cu o formulă, decât să adunăm termen cu termen. Putem face asta doar dacă prin ambele metode obținem același rezultat. Am văzut că pentru primii 4 termeni ai sumei obținem aceleași rezultate, prin ambele metode de calcul: adunarea termen cu termen sau cu ajutorul formulei. Dar este acest lucru valabil pentru orice valoare naturală a lui n? Suntem siguri că după o verificare pentru o sumă cu 10 termeni, cea cu 11 termeni va respecta formula? Dacă în fizică se pot trage concluzii sau se pot calcula valori ale unor constante după nenumărate experimente, în matematică nu merge așa. Ne trebuie o demonstrație riguroasă care nu lasă loc de interpretări și dubii.

După cum se observă, formula sumei noastre este de fapt semiprodusul a două numere consecutive:

Demonstrația constă în a presupune că formula este valabilă pentru o sumă cu k termeni -în acest caz formula de calcul va fi  - apoi să arătăm (demonstrăm) că dacă adăugăm al k+1-lea termen, formula va fi . Dacă va fi așa, demonstrație este gata. Să începem:

Pasul 2: Demonstrația

Presupunem adevărat că pentru n=k avem

 

și demonstrăm că e adevărat și pentru n=k+1. Avem deci:

Am presupus adevărat că pentru primele k numere putem aplica formula deci suma primelor k numere din paranteză va fi înlocuită cu formula și vom efectua calculele:

 

Se observă că după ce am mai adăugat un număr la sumă, rezultatul ne-a dat tot semiprodusul a două numere consecutive. Deci presupunerea noastră pentru n=k a fost adevărată iar formula de la început este demonstrată. De acum incolo putem folosi fară frică această formulă pentru a putea calcula sume primelor n numere naturale.

Observație: am pornit de la o sumă in câteva cazuri particulare (sume calculate cu 1, 2, 3, 4 termeni) și am ajuns la o formulă pentru cazul general. Deci...inducție matematică.

O să revin în cel mai scurt timp cu calculul unei sume și demonstrarea prin inducție a formulei găsite.

 

 

 

 

 

 

Share

Comments powered by CComment

Cauchy
Mulțumesc pentru că vizitați blogul meu! Reveniți pentru și mai multe noutăți interesante!
 
 

DESPRE SITE
Blog - MateCuprinde articole despre anumite capitole sau subiecte din matematică tratate punctual.
CategoriiToate materialele le găsiți sortate în funcție de categoria în care doriți să le căutați.
MediaMuzica, video și altele...
 
Euler
MATH LEGION
Salut! Am creat acest site pentru a împărtăși cu voi ideile în stilul meu personal.

Ultimele articole

Abonează-te

Guests Online

We have 58 guests and no members online

Login