Algebră
Star InactiveStar InactiveStar InactiveStar InactiveStar Inactive
 

În unul din articolele anterioare am arătat cum se folosește metoda inducției matematice pentru demonstrarea unei egalități.

În acest articol vom aborda al doilea gen de exerciții cu inducția matematică și anume calculul unei sume și demonstrarea ei prin metoda inducției matematice. Trebuie să introducem insă câteva precizări preliminare.

Avem o sumă de n numere astfel:

Putem scrie prescurtat această sumă în felul următor:

Simbolul ∑ este de fapt litera grecească "sigma" și se folosește pentru a reprezenta -prescurtat- o sumă de numere. Avem și o propietate a acestui operator:

 

 În acest caz operatorul poate fi asimilat factorului comun. Scriem suma:

Acum grupăm termenii a și b câte doi:

Acestea fiind spuse și demonstrate, putem să trecem la rezolvarea unui exercițiu.

Să se calculeze suma următoare și să se demonstreze prin inducție matematică rezultatul obținut:

Observăm că avem o sumă de fracții cu numitorul format dintr-un produs de 2 numere. Acest produs poate fi privit ca un rezultat al aducerii la același numitor a două fracții, fiecare având ca numitor unul din cele două numere. Suma de mai sus poate fi scrisă în felul următor:

 

Acum trebuie să aflăm din suma căror fracții provine fiecare termen al sumei sau termenul general din dreapta egalului. Folosim următoarea metodă:

Vom desface parantezele la numărător și obținem:

 

Dar numărătorul fiecărei fracții este 1 deci și expresia care depinde de A și B va trebui să fie egală cu 1. Așadar punem condițiile:

 

Înlocuim și obținem:

 

Acesta este termenul general scris ca o diferență iar acum îl vom introduce în sumă:

 

Vom reveni la scrierea normală a sumei (fără simbol) și in fiecare termen vom înlocui pe k cu valori de la 1 la n:

Deci suma noastră este: 

Să demonstrăm prin inducție că rezultatul obținut este cel corect:

1) Verificare

2) Demonstrație:

Presupunem că formula e adevărată pentru n=k și demonstrăm pentru n=k+1. Adăugăm deci al (k+1)-lea  termen la sumă:

Deci am obținut după calcul o formulă ca și cum am înlocui direct pe k cu k+1 în formula aflată mai devreme. 

 

 

 

 

 

 

Share

Comments powered by CComment

Cauchy
Mulțumesc pentru că vizitați blogul meu! Reveniți pentru și mai multe noutăți interesante!
 
 

DESPRE SITE
Blog - MateCuprinde articole despre anumite capitole sau subiecte din matematică tratate punctual.
CategoriiToate materialele le găsiți sortate în funcție de categoria în care doriți să le căutați.
MediaMuzica, video și altele...
 
Euler
MATH LEGION
Salut! Am creat acest site pentru a împărtăși cu voi ideile în stilul meu personal.

Ultimele articole

Abonează-te

Guests Online

We have 59 guests and no members online

Login