Algebră
Star InactiveStar InactiveStar InactiveStar InactiveStar Inactive
 

Sistemele de ecuații  de multe ori dau bătăi de cap elevilor. Nu în ultimul an de gimnaziu ci în penultimul an de liceu.

Am să împart această lecție în mai multe părți pentru a nu le trata superficial. Vom începe cu o privire de ansamblu care va ajuta la o mai bună înțelegere a rolului determinantului în rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.

Aparent nu există nici o legătură între rezolvarea sistemelor prin metodele substituției sau reducerii și metodele cu determinanți (descoperiți de Gabriel Cramer). Doar aparent și pentru cine nu citește atent teoria din manual; iar profesorii nu dispun întotdeauna de suficient timp la ore pentru a explica această legatură.

De aceea, uneori elevii preferă rezolvarea unui sistem prin metodele de clasa a 8-a decât cu ajutorul determinanților. Dar ce se întâmplă dacă sistemul pe care trebuie să-l rezolvi are cel puțin 3 ecuații cu 3 necunoscute? Sau chiar 4 ecuații cu 4 necunoscute? Faci o plimbare cât două stații de tramvai până îl rezolvi prin metoda substituției învățată în școala generală. Nimeni nu își mai pune problema de cea de a doua metodă, a reducerii. Ceea ce vreau să fac este să vă arăt cum s-a ajuns la determinanți și la metoda de rezolvare a sistemelor cu ajutorul acestora. Poate așa veți înțelege mai bine acest capitol și ajungeți la concluzia că este mai ușor să rezolvați cu determinanți. De aceea vă invit să citiți mai departe. . .  

Fie sistemul de 2 ecuații cu 2 necunoscute:

Rezolvând sistemul prin metoda substituției obținem soluțiile:

Dacă ne uităm la numitorii celor două necunoscute, observăm că de fapt e unul și același și mai mult, este chiar formula determinantului de ordin 2. Iată de ce se pune problema ca determinantul sistemului  să fie nenul pentru a putea rezolva sistemul: pentru că el este de fapt numitorul necunoscutelor. Dacă veți lua un sistem de 3 ecuații cu 3 necunoscute și îl veți rezolva tot  prin metoda substituției ca mai sus, vezi constata că numitorul celor 3 necunoscute este formula determinantului de ordin 3. Pentru sisteme cu 4 sau mai multe ecuații, evident că rezolvându-le tot prin substituție vom obține formule ale numitorilor necunoscutelor, dar deoarece ele sunt din ce în ce mai complicate, se preferă rezolvarea determinanților cu ajutorul propietăților lor și nu cu memorarea unei formule foarte lungi, complicate și cu foarte mulți termeni.

Dacă dorim să rezolvăm sistemul cu formulele lui Cramer, scriem mai întâi matricea sistemului:

apoi scriem și calculăm determinantul sistemului (al matricii A):

Să aruncăm o privire asupra numărătorului lui x. Așa cum arată, putem spune că provine din determinantul

Analog pentru numărătorul lui y:

Acești 2 determinanți se obțin prin înlocuirea primei coloane, respectiv celei de-a doua coloane a determinantului sistemului, cu coloana termenilor liberi. Concluzionăm că soluția sistemului se scrie sub forma:

 

Putem spune că pentru rezolvarea sistemului am folosit metoda substituției dar fără a mai "trage" după noi necunoscutele x și y, ci lucrând numai cu coeficienții acestora. Avantajul cel mai mare însă este faptul că putem ști de la început dacă sistemul este compatibil determinat, și anume verificând dacă determinantul sistemului este sau nu nenul.

 

Share

Comments powered by CComment

Cauchy
Mulțumesc pentru că vizitați blogul meu! Reveniți pentru și mai multe noutăți interesante!
 
 

DESPRE SITE
Blog - MateCuprinde articole despre anumite capitole sau subiecte din matematică tratate punctual.
CategoriiToate materialele le găsiți sortate în funcție de categoria în care doriți să le căutați.
MediaMuzica, video și altele...
 
Euler
MATH LEGION
Salut! Am creat acest site pentru a împărtăși cu voi ideile în stilul meu personal.

Ultimele articole

Abonează-te

Guests Online

We have 39 guests and no members online

Login