Geometrie
Star InactiveStar InactiveStar InactiveStar InactiveStar Inactive
 

Închipuiți-vă o carte întredeschisă (nu deschisă complet).

Atunci putem să considerăm coperțile cărții ca fiind 2 plane (de fapt porțiuni din două plane nemărginite). Unghiul pe care îl formează cele 2 coperți între ele se numește unghi diedru sau mai pe scurt-diedru (figura 1).

Cotorul cărții (dreapta d) reprezintă dreapta comună a celor două plane (intersecția lor), iar unghiul O dintre cele 2 coperți reprezintă unghiul diedru dintre planele α și β. În realitate planele sunt nemărginite și nu putem “vedea” unghiul O dintre ele. Atunci cum determinăm unghiul diedru? Considerăm punctele A∈α și B∈β (fig.2).

Din A ducem perpendiculara AA’ pe dreapta comună d(AA’⊥d,AA’⊂α). Analog(“asemănător”, “în același mod”) procedăm și cu punctul B și avem BB’⊥d,BB’⊂β. Acum trebuie să găsim unghiul dintre cele 2 perpendiculare. Pentru aceasta,ele ar trebui să fie concurente într-un punct pe dreapta d.Cum nu sunt, atunci prin punctul B’ ducem  o paralelă la AA’(B’B”∥AA’,  B’B”⊂α)-fig.3.

Cum AA’⊥d și B’B”∥AA’⇒B’B”⊥d în punctul B’⇒BB’ și B’B” sunt perpendiculare pe dreapta de intersecție d în același punct.Astfel∢BB’B”≡∢O.

Deci putem spune că unghiul dintre două plane(unghiul diedru) este unghiul format de perpendicularele în același punct pe dreapta comună, perpendiculare duse din 2 puncte  distincte, aflate fiecare în unul din cele 2 plane.

Aplicație

Se consideră o piramidă patrulateră regulată VABCD cu muchia de lungime m și latura bazei de lungime a.Să se afle:

a)m∢(ABCD,VBC);

b)m∢(VAB,VAD);

c)m∢(VBC,VAD).

Demonstrație:

a) Avem de aflat unghiul (diedrul) dintre o față laterală și planul bazei. Mai întâi identificăm cele 2 plane (ABCD și VBC) apoi dreapta lor de intersecție(BC). Pentru a afla unghiul dintre ele trebuie să construim două perpendiculare concurente într-un punct pe dreapta lor de intersecție. Construim apotema piramidei VE, apotemă care este în același timp înălțime și mediană în ∆VBC isoscel (deoarece piramida este regulată și deci fețele laterale sunt cel puțin triunghiuri isoscele, iar apotema pleacă din vârful unghiului format de cele 2 laturi congruente). Apoi coborâm inălțimea VO unde O este intersecția diagonalelor bazei. Unim O cu E și obținem apotema OE a bazei.

Se cunoaște faptul că apotema pătratului este perpendiculară în mijlocul laturii pătratului. Deci E este intersecția celor 2 perpendiculare aflate în cele 2 plane,pe latura comună BC.Așadar diedrul dintre planele VBC și ABCD este unghiul α(unghiul cu laturile roșii). Putem scrie:

Aplicăm teorema lui Pitagora în ∆VBE:

b) Pentru a afla diedrul dintre cele 2 fețe laterale alăturate(ambele triunghiuri isoscele congruente) trebuie să coborâm înălțimile din vârfurile B și D pe dreapta de intersecție a celor 2 plane și anume muchia VA.

Se demonstrează ușor că ∆VAB≡∆VAD și astfel și FD≡FB. Mai mult, ele sunt concurente în F. Astfel triunghiul FDB este isocel, iar cele 2 perpendiculare pe VA determină unghiul dintre cele 2 plane(unghiul β). Cum FDB nu este dreptunghic, vom afla unghiul β din teorema lui Pitagora generalizată în ∆FDB:

 

Pentru aflarea lui FB, să observăm că triunghiurile VAB și VBC sunt congruente și deci au aceeași arie.

c) Planele VBC și VAD au un punct comun (V) deci ele au o dreaptă comună(d). Considerăm că această dreaptă comună trece prin V și este paralelă cu planul bazei ABCD, dar și cu laturile BC și AD. Ceea ce se demonstrează pentru VBC va fi valabil și pentru VAD, deci demonstrăm numai pentru un singur triunghi.

 

Analog VG⊥AD⇒unghiul diedru dintre planele VBC și VAD este ∢GVE(notat cu γ).∆GVE este și el isoscel cu VG≡VE iar unghiul γ se află tot din teorema lui Pitagora generalizată în ∆VGE.

 

Observații:

1) Dacă nu este posibil altfel, puteți determina unghiurile doar prin funcțiile lor trigonometrice. Este perfect corect chiar dacă nu aflați valoarea unghiului in grade. În exemplul de mai sus, nu putem afla valorile exacte ale unghiurilor deoarece nu cunoaștem pe m și pe a.

2) Acesta a fost un simplu exemplu. Formulele determinate pentru cele trei unghiuri nu constituie formule care trebuiesc învățate. Ele au fost deduse in condițiile impuse de enunț.

 

 

Share

Comments powered by CComment

Cauchy
Mulțumesc pentru că vizitați blogul meu! Reveniți pentru și mai multe noutăți interesante!
 
 

DESPRE SITE
Blog - MateCuprinde articole despre anumite capitole sau subiecte din matematică tratate punctual.
CategoriiToate materialele le găsiți sortate în funcție de categoria în care doriți să le căutați.
MediaMuzica, video și altele...
 
Euler
MATH LEGION
Salut! Am creat acest site pentru a împărtăși cu voi ideile în stilul meu personal.

Ultimele articole

Abonează-te

Guests Online

We have 19 guests and no members online

Login