Enunț: ”Într-un triunghi bisectoarea unui unghi determina pe latura opusă 2 segmente proporționale cu celelalte 2 laturi. ”

Ipoteză:

△ABC oarecare(scalen)

AD-bisectoare⇒∢BAD≡∢DAC

Concluzie:

Demonstrație:

Prin punctul B ducem o paralelă la bisectoarea AD până când intersectează prelungirea laturii AC. Notăm intersecția cu H.

Din AD∥BH⇒∢DAC≡∢BHA(ca unghiuri corespondente din paralele tăiate de secant HC) (1)

Analog ∢BAD≡∢ABH (2)

Din relațiile (1) (2) și ∢DAC≡∢BAD(ipoteză)⇒∢BHA≡∢ABH⇒△ABH isoscel⇒AB≡AH(3);

În triunghiul CHB aplicăm teorema lui Thales:

Înlocuim în ultima relație AH cu AB (din relația 3) și obținem:

Inversând rapoartele (propietate a rapoartelor și proporțiilor) avem: