Wednesday, 06 February 2019 17:13

3 PROBLEME CU DETERMINANȚI

Written by
Rate this item
(0 votes)

1) Dacă un determinant de ordin n are n2-n+2 elemente egale,atunci determinantul este nul. 

Rezolvare: Un determinant cu n linii și n coloane are n2 elemente.

Să ne mai reamintim că un determinant care are 2 linii sau 2 coloane cu toate elementele egale,atunci el este nul.Acum să vedem ce înseamnă numărul n2-n+2. Observăm că n2-n+2=n(n-1)+2  (1)  sau  n2-n+1=n2-(n-2)   (2)

Relația (1) se traduce: "n-1 linii cu cîte n elemente egale și încă 2 elemente egale de pe a n-a linie" (cu alte cuvinte scoatem n-2 elemente de pe o linie). Relația (2) se traduce: "din toate cele n2 elemente ale determinantului scădem n-2 elemente de pe o linie". Avem 2 cazuri extreme:  

a) când toate cele n-2 elemente se află pe aceeași linie:

în acest caz determinantul rămâne cu n-1 linii cu toate elementele egale deci va fi nul. 

b) când fiecare linie conține câte un element din cele n-2 elemente:

În acest caz determinantului îi rămân 2 linii cu toate elementele egale deci va fi din nou nul. 

În cazurile intermediare determinantul va avea cel puțin 3 linii egale.Problema se rezolvă la fel dacă alegem coloane în loc de linii.

2) Să se arate că există determinanți nenuli de ordinul n cu n2-n+1 elemente egale. 

Rezolvare: Se păstrează observațiile de la prima problemă

n2-n+1=n(n-1)+1 sau n2-n+1=n2-(n-1).

De  data  aceasta  avem  un singur  caz: când  fiecare  linie conține  câte  unul  din  cele  n-1 elemente. Ne rămâne o singură linie cu toate elementele egale și deci determinantul este nenul.

3) Dacă un determinant de ordin n are n2-n+1 elemente nule,atunci determinantul este nul.

Rezolvare: n2-n+1=n2-(n-1). Determinantul are n-1 elemente nenule. Asta înseamnă că în determinantul de la problema 2, ultima linie conține numai elemente nule, deci determinantul este nul.

CHESTER the Tester

CHESTER este administratorul și realizatorul acestui site.

This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Leave a comment

Make sure you enter all the required information, indicated by an asterisk (*). HTML code is not allowed.

Top